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    二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，a≠0)．

    (Ⅰ)对于x1、x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，求证：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不相等的两实根，且必有一根属于(x1、x2)；

    (Ⅱ)若方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1、x2)内的实根为m，且x1、m－、x2成等差数列，设x＝x0是f(x)的对称轴方程．

    求证：x0＜m2；

    (Ⅲ)若a＞0，f(0)＝1，方程f(x)＝x的两实根为α、β，当|β|＜2，

    |α－β|＝2时，求b的取值范围．

    答案：
    解析：

    		 　　解：(Ⅰ)由ax2＋bx＋c＝ (a ＋bx1＋c＋a ＋bx2＋c)得

    　　解：(Ⅰ)由ax2＋bx＋c＝(a＋bx1＋c＋a＋bx2＋c)得

    　　2ax2＋2bx－a(x12＋x22)－b(x1＋x2)＝0，由a≠0，此方程判别式

    　　△＝(2b)2－4·2a[－a(x12＋x22)－b(x1＋x2)]＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0．

    　　若2ax1＋b＝2ax2＋b＝0x1＝x2矛盾，故△＞0．

    　　即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根．

    　　令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则g(x)是二次函数，

    　　∵g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2≤0

    　　f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)＜0，

    　　∴g(x)＝0的根必有一根属于(x1，x2)，命题得证．

    　　(Ⅱ)由2f(m)＝f(x1)＋f(x2)，即a(2m2－x12－x22)＋b(2m－x1－x2)＝0．

    　　∵x1，m－，x2成等差数列，

    　　∴x1＋x2＝2m－1，即2m－x1－x2＝1，∴b＝－a(2m2－x12－x22)，

    　　故x0＝－＝＝m2－．

    　　∵x1＜x2，∴x12＋x22＞0，故x0＜m2．

    　　(Ⅲ)f(0)＝1c＝1，由f(x)＝x得ax2＋(b－1)x＋1＝0，

    　　令h(x)＝ax2＋(b－1)x＋1，

    　　由h(x)＝0的实根为α、β知α·β＝＞0，故α、β同号．

    　　若0＜β＜2，则α－β＝2，故α＝β＋2＞2，

    　　∴h(2)＜0，即4a＋2b－1＜0，　　①　　又(α－β)2＝－＝4，

    　　∴2a＋1＝(∵a＞0)，代入①式得2＜3－2b，解得b＜；

    　　若－2＜β＜0，则α＝－2＋β＜－2，　　∴h(－2)＜0即4a－2b＋3＜0．　　②

    　　又2a＋1＝，代入②得2＜2b－1，解得b＞．

    　　综上所述，得b＞或b＜


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    (Ⅰ)对于x1、x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，求证：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不相等的两实根，且必有一根属于(x1、x2)；

    (Ⅱ)若方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1、x2)内的实根为m，且x1、m－、x2成等差数列，设x＝x0是f(x)的对称轴方程．求证：x0＜m2．

    (Ⅲ)若a＞0，f(0)＝1，方程f(x)＝x的两实根为α、β，当|β|＜2，|α－β|＝2时，求b的取值范围．

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