Question

本题有（1），（2），（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（1）选修4-2：矩阵与变换
如图所示：△OAB在伸缩变换M作用下变为△OA₁B₁．
（i）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（ii）求逆矩阵M^-1以及（M^-1）²⁰
（2）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C₁的参数方程为

x=2sinθ y=cosθ

（θ为参数），曲线C₂的参数方程为

x=2t y=t+1

（t为参数）
（i）若将曲线C₁与C₂上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线C₁和C₂，求出曲线C₁和C₂的普通方程；
（ii）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0
（i）求证：a²+

b 2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c) 2

14

（ii）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）（i）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可，先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（ii）再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵；
（2）（i）横坐标都缩短为原来的一半，就是将x的值变为原来的一半就可求出变换后的曲线方程，再利用同角三角函数的关系进行消元即可；
（ii）先求出过原点且与曲线C₂′垂直的直线方程的普通方程，再将普通方程化成极坐标方程即可．
（3）（i）根据柯西不等式直接证明即可；
（ii）将（i）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0代入，消去a、b、c得到关于m的不等关系，解之即可求出m的范围．

解答：解：（1）（i）根据图形可知将点B（1，1）变成成了B'（2，3），将A点（2，0）变成了A'（4，0）
设

a b c d

，则有

a b c d

 

1 1

=

2 3

，

a b c d

 

2 0

=

4 0

，
所以

a+b=2 c+d=3

且

2a+0=4 2c+0=0

，
解得

a=2 b=0 c=0 d=3

所以M=

2 0 0 3

，
矩阵M的特征多项式为 f(λ)=

.

λ-2     0  0    λ-3

.

=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=3，
将λ₁=2代入二元一次方程组

(λ-2)•x+0•y=0 0•x+(λ-3)y=0

解得y=0，
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为

1 0

；
同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为

0 1

；
（ii）M=

2 0 0 3

，从而M^-1=

1 2 0 0 1 3

∴（M^-1）²⁰=

1 250 0 0 1 350

（2）（i）C₁′：

x=sinθ y=cosθ

（θ为参数），（2分）
C₂′：

x=t y=t+1

（t为参数）（4分）
C₁′的普通方程：x²+y²=1，C₂′的普通方程：y=x+1（6分）
（ii）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂′垂直的直线方程：即为y=-x（8分）
在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=

π

4

或 θ=

3π

4

（3）（i）根据柯西不等式可得（a²+

b2

4

+

c2

9

）（1+2²+3²）≥(a×1+

b

2

×2+

c

3

×3)2=（a+b+c）²
∴a²+

b2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c)2

14

（ii）∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b2

4

+

c2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：1≤m≤

9

2

点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．