Question

（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且｜OP｜＝，·＝（点O为坐标原点）．

   （Ⅰ）求椭圆C的方程；

   （Ⅱ）直线y＝x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使＋＝λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设则由得，

由得，即  ………2分

所以，又因为，所以                    ………3分

椭圆C的方程为：；                                 ……….4分

（Ⅱ）解法一:由得，

设直线的方程为,联立方程组

消去y得：                     ………5分

设,

则                            ………6分

              

∵，∴，

得,于是        ………8分

     

 ………9分

到直线的距离为

∴，

当,即时等号成立，的最大值为         ………12分

解法二:由得，

设则

∴…………①                ………5分

∵，

∴，代入①得，              ………6分

设直线的方程为          ………7分

椭圆方程得  

，

                           ……….9分

到直线的距离为

∴，                        ………11分

当时等号成立，的最大值为                    ………12分