Question

（2011•怀化一模）已知函数f（x）=sin（ωx-

π

3

）+

3

cos（ωx-

π

3

）（ω＞0），其图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为

π

4

（1）求f（

π

12

）的值；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求[

π

6

，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为

π

4

，推出函数的周期，利用函数的周期求出ω，化简函数的表达式求出函数的解析式，然后求f（

π

12

）的值；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数的解析式，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的解析式，分析[

π

6

，2π]上，推出

1

2

x-

π

3

的范围，然后求出函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意函数f（x）=sin（ωx-

π

3

）+

3

cos（ωx-

π

3

）（ω＞0），
其图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为

π

4

；
所以

T

4

=

π

4

，可得T=π，∴ω=

2π

π

=2∴f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

cos（2x-

π

3

）=2sin2x   
所以f（

π

12

）=2sin

π

6

=1  
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍，得到y=2sin（2×

1

4

x-

π

3

）=2sin(

1

2

x-

π

3

)；
∴g（x）=2sin(

1

2

x-

π

3

)，
∵

π

6

≤x≤2π，∴

π

12

≤

1

2

x≤π
∴-

π

4

≤

1

2

x-

π

3

≤

2π

3

∴-

2

2

≤sin(

1

2

x-

π

3

)≤1
∴-

2

≤g(x)≤2
∴当x=

π

6

时，g（x）的最小值为：-

2

；当x=

5π

3

时g（x）的最大值为2．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，周期的应用，三角函数的最值的求法，函数的平移变换，考查计算能力．