Question

（2012•上海）对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

a1

∈Y，存在

a2

∈Y，使得

a1

•

a2

=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；
（3）若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式．

Answer 1

分析：（1）在Y中取

a1

=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与

a1

垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．
（2）取

a1

=（x₁，x₁），

a2

=（s，t）根据

a1

•

a2

=0，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x_n＞1时，x₁=1．
（3）[解法一]先猜想结论：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]设

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），则

a1

•

a2

=0等价于

s1

t1

=-

t2

s2

，得到一正一负的特征，再记B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数，所以B∩（0．+∞）也有n-1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得

xn

xn-1

=

xn-1

xn-2

=…=

x2

x1

，最终得到数列的通项公式是x_k=x₁•（

x2

x1

）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

解答：解：（1）选取

a1

=（x，2），则Y中与

a1

垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．
（2）取

a1

=（x₁，x₁）∈Y，设

a2

=（s，t）∈Y，满足

a1

•

a2

=0，可得（s+t）x₁=0，s+t=0，所以s、t异号．
因为-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，所以1∈X，
假设x_k=1，其中1＜k＜n，则0＜x₁＜1＜x_n．
再取

a1

=（x₁，x_n）∈Y，设

a2

=（s，t）∈Y，满足

a1

•

a2

=0，可得sx₁+tx_n=0，
所以s、t异号，其中一个为-1
①若s=-1，则x₁=tx_n＞t≥x₁，矛盾；
②若t=-1，则x_n=sx₁＜s≤x_n，矛盾；
说明假设不成立，由此可得当x_n＞1时，x₁=1．
（3）[解法一]猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．
任取

a1

=（s，t），s、t∈A_k，当s、t中出现-1时，显然有

a2

满足

a1

•

a2

=0
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
因为A_k+1具有性质P，所以有

a2

=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得

a1

•

a2

=0，从而s₁、t₁其中有一个为-1
不妨设s₁=-1，
假设t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，则t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，与s∈A_k矛盾．
所以t₁∈A_k，从而A_k也具有性质P．
再用数学归纳法，证明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，则x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性质P，则A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，
所以A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取

a1

=（x_k+1，q），并设

a2

=（s，t）∈Y，满足

a1

•

a2

=0，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，则x_k+1=

q

s

＜q，不可能
所以s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1＞q^k-1，因此x_k+1=q^k
综上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
[解法二]设

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），则

a1

•

a2

=0等价于

s1

t1

=-

t2

s2

记B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．
由于

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，已经有n-1个数
对以下三角形数阵：

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，
                 

xn-1

xn-2

＜

xn-1

xn-3

＜

xn-1

xn-4

＜…＜

xn-1

x1

                 …
                 

x2

x1

注意到

xn

x1

＞

xn-1

x1

＞

xn-2

x1

＞…＞

x2

x1

，所以

xn

xn-1

=

xn-1

xn-2

=…=

x2

x1

从而数列的通项公式是x_k=x₁•（

x2

x1

）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．