Question

9．如图所示，矩形ABCD所在的平面垂直圆O所在的平面，AB是圆O的直径，M是CD上一点，且DM=EF，E、F是圆O上的点，∠EAF=∠FAB=30°．
（1）求证：DF⊥BF；
（2）求证：平面DAE∥平面MOF．

Answer 1

分析 （1）由已知得AD⊥AB，BF⊥AD，BF⊥AF，从而BF⊥平面ADF，由此能证明DF⊥BF．
（2）由已知推导出DM$\underset{∥}{=}$EF$\underset{∥}{=}$AO，从而四边形EFMD和四边形AOMD都是平行四边形，进而DE∥MF，AD∥MO，由此能证明平面DAE∥平面MOF．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD所在的平面垂直圆O所在的平面，
∴AD⊥AB，∴AD⊥圆O所在的平面，∴BF⊥AD，
∵AB是圆O的直径，F是圆O上的点，
∴BF⊥AF，
∵AF∩AD=A，∴BF⊥平面ADF，
∵DF?平面ADF，∴DF⊥BF．
（2）∵AB是圆O的直径，M是CD上一点，且DM=EF，E、F是圆O上的点，∠EAF=∠FAB=30°，
∴DM=EF=OF=$\frac{1}{2}AB$，
∴DM$\underset{∥}{=}$EF$\underset{∥}{=}$AO，∴四边形EFMD是平行四边形，四边形AOMD是平行四边形，
∴DE∥MF，AD∥MO，
∵AD∩DE=D，OM∩MF=M，
∴平面DAE∥平面MOF．

点评 本题考查线线垂直和面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．