Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB= =AC=2，E，F分别为A1C1 ， BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面ABE．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

∴BB1⊥AB，∵

∴AB⊥BC，

∵BC∩BB1=B，∴AB⊥平面B1BCC1，

又AB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面B1BCC1

（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，

∵E，F分别是A1C1，BC的中点，

∴ ，∵ ，∴ ，

∴FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，

又EG平面ABE，C1F平面ABE，

∴C1F∥平面ABE．

【解析】（1）运用直三棱柱侧棱垂直于底面，以及勾股定理的逆定理，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面B1BCC1 ， 再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）取AB的中点G，连接EG，FG，运用平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．