Question

对于给定数列{a_n}，如果存在实常数p，q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{a_n}是“M类数列”．
（Ⅰ）已知数列{b_n}是“M类数列”且b_n=2n，求它对应的实常数p，q的值；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c₁=1，c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*），求数列{c_n}的通项公式．并判断{c_n}是否为“M类数列”，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由数列{b_n}是“M类数列”且b_n=2n，知b_n+1=b_n+2，由此能求出p和q的值．
（Ⅱ）因为c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*），所以c₂-c₁=2，c₃-c₂=4，…，c_n-c_n-1=2^n-1（n≥2），所以c_n=1+2+4+…+2^n-1=2ⁿ-1（n≥2），由此能够推导出{c_n}是为“M类数列”．
解答：解：（Ⅰ）∵数列{b_n}是“M类数列”且b_n=2n，
∴b_n+1=b_n+2，
∴由“M类数列”定义知：p=1，q=2．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴c₂-c₁=2，
c₃-c₂=4，
…
c_n-c_n-1=2^n-1（n≥2），
∴累加求和，得到：c_n=1+2+4+…+2^n-1=2ⁿ-1（n≥2），
c₁=1也满足上式，
∴c_n=2ⁿ-1．
∴c_n+1=2c_n+1，
∴由“M类数列”定义知：{c_n}是“M类数列”．  …（14分）
点评：本题考查数列的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．