Question

4．某高校在2015年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数；（结果保留1位小数）
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（ III）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数；
（Ⅱ）因为在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这三个小组共有60人，利用每一个小组在60人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果；
（III）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

解答 解：（Ⅰ）众数为167.5；中位数为171.7…（4分）
（Ⅱ）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3
第四组的频率为0.04×5=0.2
第五组的频率为0.02×5=0.1
第三组的人数为0.3×100=30，
第四组的人数为0.2×100=20
第五组的人数为0.1×100=10，
因为第三、四、五组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组抽到的人数分别为：
第三组$\frac{30}{60}×6=3$，
第四组$\frac{20}{60}×6$=2，
第五组|PF₁|：|PF₂|=3：2，
所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．…（8分）
（III）设第三组的3位同学为A₁、A₂、A₃，第四组的2名学生为B₁、B₂，
第五组的1位同学为C₁则从6位同学中抽2位同学有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），
（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共15种可能…（10分）
其中第四组的2位同学B₁，B₂中至少1位同学入选有
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂）（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共9种可能…（11分）
所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型的基本知识，是一道常见的高考题．