Question

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②若p=a+

1

a-2

（a＞2），q=(

1

2

)x2-2（x∈R），则p＞q，
③已知|

a

|=|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为

π

3

，则

a

+

b

在

a

上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则f（

3π

2

-x）=-f（x）．
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则

x＞0 lgx＞0

可求x的范围②利用基本不等式可求p=a+

1

a-2

=a-2+

1

a-2

+2≥4，而q=(

1

2

)x2-2≤

1

2

-2=4，则可比较p，q的大小③求

a

+

b

与

a

的夹角θ及|

a

+

b

|，根据投影的定义可得，

a

+

b

在

a

上的投影为|

a

+

b

|cosθ，代入可求④由f（x）=asinx-bcosx在x=

π

4

处取得最小值，可得a=-b，代入到函数中可得f（x）=asinx+acosx=

2

sin(x+

π

4

)把f（

3π

2

-x）代入检验

解答：解：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则

x＞0 lgx＞0

?x＞1，①正确
②p=a+

1

a-2

=a-2+

1

a-2

+2≥4（a＞2），q=(

1

2

)x2-2≤

1

2

-2=4，则p≥q，②错误
③由|

a

|=|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为

π

3

可得

a

+

b

与

a

的夹角为投影为30°，根据投影的定义可得，

a

+

b

在

a

上的投影为
|

a

+

b

|cos30°=2

3

×

3

2

=3，③正确
④f（x）=asinx-bcosx，在x=

π

4

处取得最小值，可得a=-b，则f（x）=asinx+acosx=

2

sin(x+

π

4

)
，f（

3π

2

-x）═

2

sin(

3π

2

-x+

π

4

)=-

2

sin(x+

π

4

)=-f（x），④正确
故答案为：①③④

点评：本题是一道把不等式的性质及利用基本不等式求解最值、向量的夹角及投影的定义的考查、三角函数的性质等知识的综合运用，此类问题在高考中一般会出现在填空的压轴题，要求考生能够熟练的运用所学的知识解决综合问题．