Question

【题目】设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是椭圆 上的两点，已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），若 =0且椭圆的离心率e= ，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意知2b=2，∴b=1，e= = =

∴a=2，c= =

∴椭圆的方程为

（Ⅱ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，

∵ =0

∴x12﹣ =0

∴y12=4x12

又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+ =1

∴|x1|= ，|y1|=

s= |x1||y1﹣y2|=1

所以三角形的面积为定值．

②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0

∴x1+x2= ，x1x2= ，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0

而 =0，

∴x1x2+ =0

即x1x2+ =0代入整理得

2b2﹣k2=4

S= |AB|= = =1

综上三角形的面积为定值1．

【解析】（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据 =0代入求得x12﹣ =0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入 =0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．