Question

空间四边形ABCD中，AC与BD成60⁰角，AC=8，BD=8，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长是

4或4

3

．

Answer 1

分析：取BC中点P，连接PN，MP，可得NP=4，MP=4，∠MPN（或其补角）为AC与BD成的角，再利用余弦定理，可求MN．

解答：解：取BC中点P，连接PN，MP

因为M，N分别为AB和CD的中点，所以PN和MP分别是△BCD和△ABC的中位线
所以NP平行且等于

1

2

BD，MP平行且等于

1

2

AC，
所以NP=4，MP=4，∠MPN（或其补角）为AC与BD成的角，
∵AC与BD成60°角，
∴∠MPN=60°或120°
根据余弦定理：MN²=MP²+NP²-2MP×NP×cos∠MPN
所以MN²=16+16-2×4×4×0.5=16或MN²=16+16+2×4×4×0.5=48
所以MN=4或4

3

故答案为4或4

3

．

点评：本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关键．