Question

已知函数f（x）=2x+

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）求证：当a=1时，函数y=f（x）在区间[

2

2

，1]上单调递增；
（2）当a＞0时，函数y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函数的最值以及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，求出函数的解析式，利用定义法，可证明出函数y=f（x）在区间[

2

2

，1]上单调递增；
（2）当a＞0时，利用导数法，可以得到函数y=f（x）的单调性，进而分析1与极值点的关系，可得答案．

解答：证明：（1）当a=1时，f（x）=2x+

1

x

．
取x₁，x₂∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂，则
x₁-x₂＜0，

1

2

＜x₁•x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

2x1•x2-1

x1•x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函数y=f（x）在区间[

2

2

，1]上单调递增
解：（2）当a＞0时，∵f（x）=2x+

a

x

∴f′（x）=2-

a

x2

令f′（x）=0，则x=

2 a

2

∵x∈（0，

2 a

2

]时，f′（x）≤0；x∈[

2 a

2

，+∞）时，f′（x）≥0；
∴函数y=f（x）在区间（0，

2 a

2

]上单调递减，在区间[

2 a

2

，+∞）上单调递增．
所以函数没有最大值．
当

2 a

2

≥1时，a≥2，f（x）_min=f（1）=2+a
当

2 a

2

＜1时，0＜a＜2，f（x）_min=f（

2 a

2

）=2

2

a

点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，函数单调性判断与证明，定义法和导数法是最常见的判断函数单调性的方法，一定要熟练掌握．