Question

用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x，体积是V的正四棱柱形状的框架．
（Ⅰ）试将V表示成x的函数，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时，其体积最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用为定值l和底面边长x表示出正四棱柱的高，然后根据正四棱柱的体积公式等于底面积乘以高得到V与x的关系式，根据l-8x大于0得到x的范围；
（Ⅱ）求出V′，讨论导函数的正负决定函数的增减性得到函数的最大值时x的取值即可．

解答：解：（Ⅰ）由长度为定值l的铁丝围成的底面边长为x，则正四棱柱的高为

l-8x

4

，根据体积公式得：
V=x²•

l-8x

4

=

l

4

x²-2x³，
又因为l-8x＞0且x＞0解得x的取值范围是（0，

1

8

）．
（Ⅱ）求出V′=

l

2

x-6x²=-6x（x-

l

12

），
在（0，

l

12

）上，V′＞0，函数单调递增；在（

l

12

，

l

8

）上，V′＜0，函数单调递减．
∴当x=

l

12

时，V取最大值．
此时，正四棱柱的高为

l

12

，于是当正四棱柱底面边长和高之比是1时，其体积最大．

点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数类型，掌握棱柱的体积公式，会利用导数求闭区间上函数的最值．