Question

设函数有两个极值点,且.

(1)求实数的取值范围；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) ①当时,,即在区间上单调递增；

②当时,,即在区间上单调递减；

③当时,,即在区间上单调递增

(3)

【解析】

试题分析：解:(1)由可得.

令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得. 5分

(2)由(1)可知,其中,故

①当时,,即在区间上单调递增；

②当时,,即在区间上单调递减；

③当时,,即在区间上单调递增. 9分

(3)由(2)可知在区间上的最小值为.

又由于,因此.又由可得,从而.

设,其中,

则.

由知:,,故,故在上单调递增.

所以,.

所以,实数的取值范围为. 14分

(事实上,当时,,此时.即,“”是其充要条件.)

考点：导数的运用

点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定，以及运用导数的知识来求解最值，属于中档题。