Question

6．已知函数f（x）是定义域为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是单调递增函数，若实数a满足不等式f（log₂a）+f（${log_{\frac{1}{2}}}a$）≤2f（2），则实数a的取值范围是$[{\frac{1}{4}，4}]$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．

解答 解：∵f（x）是定义域为R上的偶函数，
∴不等式$f（{{{log}_2}a}）+f（{{{log}_{\frac{1}{2}}}a}）≤2f（2）$，等价为2f（log₂a）≤2f（2），
即f（log₂a）≤f（2），
则f（|log₂a|）≤f（2），
∵在区间[0，+∞）上是单调递增函数，
∴|log₂a|≤2，
即-2≤log₂a≤2，
解得$\frac{1}{4}$≤a≤4，
故答案为：$[{\frac{1}{4}，4}]$

点评 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．