Question

5．在椭圆x²+4y²=16中，求通过点M（2，1）且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长．

Answer 1

分析 设直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，则直线方程可求，然后联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，再利用弦长公式求得弦长．

解答 解：设直线与椭圆交于点A，B，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，
两式相减，得$（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）+4（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）=0$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵点M（2，1）是AB的中点，
∴k_AB=$-\frac{4}{4×2}=-\frac{1}{2}$，
则所求直线方程为y-1=$-\frac{1}{2}（x-2）$，即y=-$\frac{1}{2}x+2$；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得x²-4x=0．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=0，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{1}{2}）^{2}}×\sqrt{{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，训练了“舍而不求”的解题思想方法，考查弦长公式的应用，是中档题．