Question

已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于

6

6

．

Answer 1

分析：设O为四面体ABCD外接球的球心，过A作AH⊥BCD于H，则O在AH上，延长BH交BC于E，连接OB、AE．可算出四面体的高AH=

2 6

3

，根据Rt△BOH∽Rt△AEH，得OH=

1

3

BO=

1

3

AO，所以OH=

1

4

AH=

6

6

，即球心到平面BCD的距离等于

6

6

．

解答：解：设O为四面体ABCD外接球的球心，过A作AH⊥BCD于H，则O在AH上
延长BH交BC于E，连接OB、AE
∵等边三角形BCD中，H为中心
∴BE⊥CD且E为CD的中点，可得BE=AH=

3

2

AB=

3

∴BH=

2

3

BE=

2 3

3

，得Rt△ABH中，AH=

AB2-BH2

=

2 6

3

又∵Rt△BOH∽Rt△AEH
∴

OH

BO

=

EH

AE

，结合EH=

1

3

BE=

1

3

AE得OH=

1

3

BO
∵AO=BO=R，（R是外接球半径）
∴OH=

1

4

AH=

6

6

，即球心到平面BCD的距离等于

6

6

故答案为：

6

6

点评：本题给出正四面体的棱长，求它的外接球心到底面的距离，着重考查了正四面体的性质和多面体的外接球等知识点，属于基础题．