Question

某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地，市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别表示自西向东，自南向北的两条主干道．设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道，小道为抛物线y=x²的一段，在小道上依次以点为圆心，修一系列圆型小道，这些圆型小道与主干道Ox相切，且任意相邻的两圆彼此外切，若x₁=1（单位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）记以P_n为圆心的圆与主干道Ox切于A_n点，证明：数列是等差数列，并求|OA_n|关于n的表达式；
（2）记⊙P_n的面积为S_n，根据以往施工经验可知，面积为S的圆型小道的施工工时为（单位：周）．试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可设⊙p_n的半径，由题意可得|p_np_n+1|=r_n+r_n+1，代入点的坐标整理可得，结合等差数列的通项公式可求，进而可求x_n，即可求解
（2）由==，代入T_n==，利用放缩法及裂项即可求解和，可求
解答：解：（1）依题意可设⊙p_n的半径
∵⊙p_n与⊙p_n+1相切
∴|p_np_n+1|=r_n+r_n+1
∴=y_n+y_n+1
两边平方整理可得，
∵x_n＞x_n+1＞0
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1
∴
∴{}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴=2n-1
∴即
（2）∵==
设前几个圆型小道的施工总时为T_n=
=
＜
=

==＜5
故5周内完成修建工作
点评：本题主要考查了圆外切性质的应用，利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，数列的裂项求和及放缩法在不等式中的应用