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某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地,市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场,如下图所示是步行小道设计方案示意图,其中,Ox,Oy分别表示自西向东,自南向北的两条主干道.设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道,小道为抛物线y=x2的一段,在小道上依次以点为圆心,修一系列圆型小道,这些圆型小道与主干道Ox相切,且任意相邻的两圆彼此外切,若x1=1(单位:百米)且xn+1<xn
(1)记以Pn为圆心的圆与主干道Ox切于An点,证明:数列是等差数列,并求|OAn|关于n的表达式;
(2)记⊙Pn的面积为Sn,根据以往施工经验可知,面积为S的圆型小道的施工工时为(单位:周).试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建?请说明你的理由.

【答案】分析:(1)依题意可设⊙pn的半径,由题意可得|pnpn+1|=rn+rn+1,代入点的坐标整理可得,结合等差数列的通项公式可求,进而可求xn,即可求解
(2)由==,代入Tn==,利用放缩法及裂项即可求解和,可求
解答:解:(1)依题意可设⊙pn的半径
∵⊙pn与⊙pn+1相切
∴|pnpn+1|=rn+rn+1
=yn+yn+1
两边平方整理可得,
∵xn>xn+1>0
∴xn-xn+1=2xnxn+1

∴{}是以1为首项,以2为公差的等差数列
=2n-1

(2)∵==
设前几个圆型小道的施工总时为Tn=
=

=

==<5
故5周内完成修建工作
点评:本题主要考查了圆外切性质的应用,利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式,数列的裂项求和及放缩法在不等式中的应用
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(1)记以Pn为圆心的圆与主干道Ox切于An点,证明:数列{
1
xn
}
是等差数列,并求|OAn|关于n的表达式;
(2)记⊙Pn的面积为Sn,根据以往施工经验可知,面积为S的圆型小道的施工工时为
πS
(单位:周).试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建?请说明你的理由.

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为圆心,修一系列圆型小道,这些圆型小道与主干道相切,且任意相邻的两圆彼此外切,若(单位:百米)且.

(1)记以为圆心的圆与主干道切于点,证明:数列是等差数列,并求关于的表达式;

(2)记的面积为,根据以往施工经验可知,面积为的圆型小道的施工工时为(单位:周).试问5周时间内能否完成前个圆型小道的修建?请说明你的理由.

 

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