Question

8．如图，在五棱锥F-ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．
（1）已知点G在线段FD上，确定G的位置，使得AG∥平面BCF；
（2）点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求三棱锥A-BMF的体积．

Answer 1

分析 （1）点G为靠近D的三等分点，在线段CD取一点H，使得CH=2，连结AH，GH，即可得到AH∥BC，由点G为靠近D的三等分点，进一步求得GH∥CF，即可得结论；
（2）连接BD，求得AE，BD，又AB=DE，求出∠AED，取AE的中点K，连接FK，得到FK⊥KM，设ME=x（0＜x＜2），求出KM，又DM=FM=KM²+FK²，即可求出x的值，则三棱锥A-BMF的体积可求．

解答 解：（1）点G为靠近D的三等分点
在线段CD取一点H，使得CH=2，连结AH，GH，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD．
又AB=CH，∴四边形ABCH为平行四边形，∴AH∥BC．
∵点G为靠近D的三等分点，
∴FG：GD=CH：HD=2：1，∴GH∥CF．
∵AH∩GH=H，∴平面AGH∥平面BCF，而AG?平面AGH，∴AG∥平面BCF；
（2）连接BD，根据条件求得$AE=\sqrt{2}$，$BD=3\sqrt{2}$，又AB=DE=2，∴∠AED=135°．
取AE的中点K，连接FK，∵AF=EF，∴FK⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，∴FK⊥平面ABCDE，∴FK⊥KM．
设ME=x（0＜x＜2），∵$KE=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴KM=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+{x}^{2}-2x×\frac{\sqrt{2}}{2}cos135°$=${x}^{2}+x+\frac{1}{2}$．
∵翻折后，D与F重合，∴DM=FM．
∴DM=FM=KM²+FK²，∴（2-x）²-x²+x+1⇒x=$\frac{3}{5}$．
∴V_A-BMF=V_F-ABM=$\frac{1}{3}×FK×\frac{1}{2}×AB×（ME+1）$=$\frac{1}{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}×2×\frac{8}{5}=\frac{4\sqrt{2}}{15}$．

点评 本题考查空间几何体的体积，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系的判断与证明，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题．