Question

如图，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将△QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）求证：△PBC是直角三角形；
（3）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证BC∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC与平面PAD内一直线平行，易证ABCD是平行四边形，则BC∥AD．又BC?平面PAD，AD?平面PAD，满足定理所需条件；
（2）由题意可知ABCD是菱形，取AD中点E，连PE，BE，根据面面垂直的性质定理可知PE⊥平面ABCD，则PE⊥BC．又BC∥AD，从而BC⊥BE．又PE∩BE=E，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面PEB，则BC⊥PB，从而得到结论；
（3）先求出PE，三角形BCD的面积，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：解：（1）证明：∵AB∥CQ，D是CQ的中点，
∴AB∥CD，AB=CD，∴ABCD是平行四边形，∴BC∥AD．
又∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD．
（2）∵∠BCQ=60°，AB=BC，
∴ABCD是菱形，∴△PDA，△BDA均为等边三角形．
取AD中点E，连PE，BE．∴PE⊥AD，BE⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC．
又∵BC∥AD，∴BC⊥BE．又∵PE∩BE=E，
∴BC⊥平面PEB，∴BC⊥PB．
∴△PBC是直角三角形．
（3）∵PE=

3

2

AD=

3

，s△BCD=

3

4

×22=

3

．
∴VP-BCD=

1

3

S△BCD•PE=

1

3

×

3

×

3

=1，
∴三棱锥P-BCD的体积为1．

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于基础题．