Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A，B两点，设=λ.

①当λ=1时,求直线m的方程；

②当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求λ的值.

Answer 1

（1）解法一：设M(x,y)，则由题设得|MF|=|y+2|-1,

即=|y+2|-1,当y≥-2时,=y+1,化简得x²=4y;

当y＜-2时,=-y-3,

化简得x²=8y+8与y＜-3不合,故点M的轨迹C的方程是x²=4y.

解法二：∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1，

∴点M在直线l的上方.点M到F（1，0）的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等,

∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线.∴曲线C的方程为x²=4y.

（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意.

设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k)，代入x²=4y得x²-4kx+8(k-1)=0（*） 

Δ=16(k²-2k+2)＞0对k∈R恒成立，∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点.

设交点A，B的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=4k,x₁x₂=8(k-1).

①由=λ,且λ=1得点P是弦AB的中点,

∴x₁+x₂=4.则4k=4，得k=1.∴直线m的方程是x-y=0.

②∵|AB|==

=4.点O到直线m的距离d=,

∴S_△ABO=|AB|·d=4|k-1|=4.

∵S_△ABO=4,∴4=4.

∴(k-1)⁴+(k-1)²-2=0,(k-1)²=1或(k-1)²=-2（舍去）.∴k=0或k=2.

当k=0时,方程（*）的解为±2.若x₁=2,x₂=-2,则λ==3-2,

若x₁=-2,x₂=2,则λ==3+2.

当k=2时,方程（*）的解为4±2.若x₁=4+2,x₂=4-2,则λ==3+2,

若x₁=4-2,x₂=4+2,则λ==3-2,

∴λ=3+2或λ=3-2.