Question

4．已知sin2α=$\frac{4}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sinα和cosα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出cos2α，再由降幂公式求得sinα和cosα的值；
（2）由已知利用配角思想求出sin2β、cos2β的值，得到tan2β，再由（1）求出tanα，代入两角和的正切得答案．

解答 解：（1）∵α∈（0，$\frac{π}{4}$），∴2α∈（0，$\frac{π}{2}$），
又sin2α=$\frac{4}{5}$，∴cos2α=$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}=\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=\frac{3}{5}$，
由cos2α=1-2sin²α，得
$sinα=\sqrt{\frac{1-cos2α}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）由β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），得$β-\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{4}$），
又sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，∴cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sinβ=sin[（$β-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（$β-\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$β-\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=（$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
则cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}=\sqrt{1-（\frac{7\sqrt{2}}{10}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{10}$=$\frac{7}{25}$．
则cos2β=$-\frac{24}{25}$，
∴tan2$β=-\frac{7}{24}$．
由（1）知，tan$α=\frac{1}{2}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanαtan2β}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{7}{24}}{1+\frac{1}{2}×\frac{7}{24}}$=$\frac{2}{11}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，考查倍角公式、同角三角函数的基本关系式等的应用，属中档题．