Question

（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真。

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）。

Answer 1

解：（1）如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，根
据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得 ，
则= 
因为a⊥b，所以，
又因为a?α，n⊥α，
所以 ，
故，从而a⊥c。

（2） 逆命题为：a是平面α内的一条直线，b是α外的一条直线（b不垂直于α），c是直线b在α上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题。