Question

已知圆M：（x-2）²+（y-3）²=4，过点P（0，t）的直线交圆于不同的两点A，B，且|PA|=|AB|，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[-1，7]
• B、（3，7]
• C、[3-2

  2

  ，3）∪（3，3+2

  2

  ]
• D、[3-4

  2

  ，3）∪（3，3+4

  2

  ]

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：由圆M：（x-2）²+（y-3）²=4，可得圆心M（2，3），r=2．根据割线定理可得|PA|•|PB|=（|PM|+r）（|PM|-r）=|PM|²-4，再利用|PA|=|AB|≤2r，|PM|²=2²+（3-t）²，即可得出．

解答： 解：由圆M：（x-2）²+（y-3）²=4，可得圆心M（2，3），r=2．
根据割线定理可得|PA|•|PB|=（|PM|+r）（|PM|-r）=|PM|²-4，
∵|PA|=|AB|，|PM|²=2²+（3-t）²，
∴2|AB|²=2²+（3-t）²-4，
化为（3-t）²=2|AB|²，
∵|AB|≤2r=4，
∴（3-t）²≤2×4²=32，
解得3-4

2

≤t≤3+4

2

，
又t≠3，
∴3-4

2

≤t≤3+4

2

且t≠3．
故选D．

点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、切割线定理、不等式的解法等基础知识与基本方法，属于难题．