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【题目】已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上存在一点G到焦点的距离为3,且点G在圆C:x2+y2=9上. (Ⅰ)求抛物线C1的方程;
(Ⅱ)已知椭圆C2 =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,且离心率为 .直线l:y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点,若原点O在以线段AB为直径的圆的外部,求k的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)设点G的坐标为(x0 , y0),由题意可知 解得:
所以抛物线C1的方程为:y2=8x
(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线C1的焦点F(2,0),
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2,m2﹣n2=c2=4,
∵椭圆C2的离心率为 ,∴
∴椭圆C2的方程为:
设A(x1 , y1)、B(x2 , y2),
得(4k2+3)x2﹣32kx+16=0
由韦达定理得:
由△>0(﹣32k)2﹣4×16(4k2+3)>0 …①
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部,则

=
=
= …②
由①、②得实数k的范围是
【解析】(Ⅰ)设点G的坐标为(x0 , y0),列出关于x0 , y0 , p的方程组,即可求解抛物线方程.(Ⅱ)利用已知条件推出m、n的关系,设(x1 , y1)、B(x2 , y2),联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及判别式大于0,求出K的范围,通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部,推出 ,然后求解k的范围即可.

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A. B. C. D.

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