Question

已知：菱形ABCD对角线AC与BD相交于O．
（1）试用向量方法证明：AC⊥BD．
（2）设

AB

=

a

，

AD

=

b

，若E是线段OA的中点，F在线段AD上使AF=3FD，试用

a

与

b

表示

CF

，

EF

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）设

AB

=

a

，

AD

=

b

，根据菱形ABCD中AB=AD，|

a

|=|

b

|，可得

AC

•

BD

=

b

²-

a

²=|

b

|²-|

a

|²=0，根据向量垂直的充要条件，可得AC⊥BD．
（2）根据E是线段OA的中点，F在线段AD上使AF=3FD，根据向量共线的充要条件，向量加法的三角形法则，可用

a

与

b

表示

CF

，

EF

．

解答： 解：（1）设

AB

=

a

，

AD

=

b

，
∵菱形ABCD中AB=AD，
∴|

a

|=|

b

|，
∵

AC

=

b

+

a

，

BD

=

b

-

a

，
∴

AC

•

BD

=

b

²-

a

²=|

b

|²-|

a

|²=0，
∴

AC

⊥

BD

，
即AC⊥BD．
（2）∵E是线段OA的中点，AF=3FD，
∴

CF

=

1

4

CA

+

3

4

CD

=-

1

4

（

b

+

a

）-

3

4

a

=-

a

-

1

4

b

，

EF

=

EA

+

AF

=-

1

4

（

b

+

a

）+

3

4

b

=-

1

4

a

+

1

2

b

．

点评：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，向量数量积的运算法则，向量共线的充要条件，向量加法的三角形法则，是向量的综合应用，难度中档．