Question

20．用定义证明函数f（x）=x-$\frac{6}{x}$在（0，+∞）单调递增．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．

解答 证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\frac{6}{{x}_{1}}-{x}_{2}+\frac{6}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{6}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${x}_{1}-{x}_{2}＞0，1+\frac{6}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评 考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，以及作差的方法比较f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．