Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax+1（a是不为零的常数，且a∈R）．
（1）讨论函数F（x）=f（x）•g（x）的单调性；
（2）当a=-1时，方程f（x）•g（x）=t在区间[-1，1]上有两个解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数F（x）=f（x）•g（x）的导数F′（x），再根据F′（x）的零点，讨论实数a的取值，可得F′（x）=0有一个或零个实数根，因此将实数集分为2个区间，分别在这两个区间上讨论的正负，即可得出函数的单调性；
（2）当a=-1时，F（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1），可以得出F（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数，故函数的最大值为F（0）=1，可以求出符合题的实数t的取值范围；

解答：解：（1）由题意可得F（x）=f（x）g（x）=e^x（ax+1）
∴F′（x）=e^x（ax+a+1）
令∴F′（x）=e^x（ax+a+1）=0
∴x=-

a+1

a

∴当a＞0时F（x）=f（x）•g（x）的单调增区间为（-

a+1

a

，+∞）单调减区间为（-∞，-

a+1

a

）
当a＜0时F（x）=f（x）•g（x）的单调增区间为（-∞，-

a+1

a

）单调减区间为（-

a+1

a

，+∞）
（2）由题意可得当a=-1时，F（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1）
由（1）可得当a=-1时可以得出F（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴函数的最大值为F（0）=1
又∵方程f（x）•g（x）=t在区间[-1，1]上有两个解
∴实数t的取值范围是（-∞，1）．

点评：（1）函数与方程的综合运用在利用导数研究函数的单调性时更能体现它的作用．
（2）利用导数研究函数的单调性求函数的最值进而求出参数的范围．