Question

现有一张长为80 cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm³)

(1)求出x与 y的关系式；
(2)求该铁皮盒体积V的最大值．

Answer 1

（1）y＝，0＜x＜60.（2）32000 cm³

(1)由题意得x²＋4xy＝4 800，
即y＝，0＜x＜60.
(2)铁皮盒体积V(x)＝x²y＝x²×＝－x³＋1 200x，V′(x)＝－x²＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，因为x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函数；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是减函数，所以V(x)＝－x³＋1 200x，在x＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm³.
所以该铁皮盒体积V的最大值是32000 cm³.