Question

【题目】若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．

(1) 判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2) 若函数f(x)=(x–1)2在定义域[m，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m、n乘积mn的取值范围；

(3) 已知函数f(x)=(x–a)2 (a<)在定义域[，4]上为“依赖函数”．若存在实数x[，4]，使得对任意的tR，有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立，求实数s的最大值．

Answer 1

【答案】（1）g(x)=2x是“依赖函数”（2）（3）

【解析】试题分析：（1）取 ，可验证函数为依赖函数；（2）化简条件得，从而，利用单调性求值域即可；（3）由题意知存在，使得对任意的t∈R，有不等式都成立，即恒成立，分离参数可得，转化为求最值问题处理.

试题解析：

(1) 对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2= –x1，则g(x1)g(x2)=1，

且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，

故g(x)=2x是“依赖函数”；

(2) 因为m>1，f(x)=(x–1)2在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m–1)2(n–1)2=1，

由n>m>1，得(m–1) (n–1) =1，故，

由n>m>1，得1<m<2，

从而在上单调递减，故，

(3) 因，故在上单调递增，

从而，即，进而，

解得或 (舍)，

从而，存在，使得对任意的t∈R，有不等式都成立，即恒成立，由，

得，由，可得，

又在单调递增，故当时， ，

从而，解得，故实数的最大值为．