Question

设正数数列{a_n}为等比数列，a₂=4，a₄=16．
（1）求
（2）记b_n=2•log₂a_n，证明：对任意的n∈N^*，有•…＞成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据a₂=4，a₄=16求出数列{a_n}的通项公式，然后代入进行求解即可；
（2）利用数学归纳法进行证明，①当n=1时，不等式成立，②假设当n=k时不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式成立，从而证得结论．
解答：解（1）可知q²=4，又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，∴lga_n=lg2ⁿ=nlg2．
==
（2）①当n=1时，左边=，右边=，因为＞，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即•…=•…＞
成立．则当n=k+1时，左边=•…•=•…•
＞==＞
所以当n=k+1时，不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列求和和利用数学归纳法证明不等式，属于中档题．