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如图,二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标(0,8),矩形ABCD的顶点B、C在x轴上,A、D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的封闭图形内.
(I)求二次函数f(x)的解析式;
(II)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;
(III)是否存在这样的矩形ABCD,使它的面积为8?试证明你的结论.

【答案】分析:(1)由题意直接利用待定系数法求解即可:y=-2x2+8;
(2)根据解析式和图可表示出AD和AB,再表示出矩形ABCD的周长p与自变量x的函数关系,求出x的范围;
(3)先假设存在,再由(2)表示出矩形的面积,再求导、临界点,以及对应的单调区间,再求出矩形面积的范围,再进行判断即可.
解答:解:(1)∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,8),
∴4m=8,即m=2,
则二次函数的解析式为:f(x)=-2x2+8,
(2)设点A(x,y),由图得:0<x<2,
∵点A在抛物线y=-2x2+8上
∴y=-2x2+8,则AD=2y=-4x2+16,AB=2x,
∴=2(AD+AB)=2(2x-4x2+16)=-8x2+4x+32(0<x<2)
(3)假设存在这样的矩形ABCD,使它的面积为8,
由(2)得,S=AD•AB=2x(-4x2+16)=-8x3+32x,且0,
∴S′=-24x2+32,由-24x2+32=0得,
当0<x<时,S′>0;当<x<2时,S′<0,
∴S在(0,)上递增,在(,2)上递减,
则当x=时,矩形的面积取到最大值为s=>8,
∵当x=0时,S=0;当x=2时,S=0<8,
∴S∈(0,]
故存在这样的矩形ABCD,使它的面积为8.
点评:本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用,导数与函数单调性、最值的关系,比较综合,此题算是中档题,考点还是比较基础的.
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①a>0   ②2a+b=0  ③a+b+c>0  ④当﹣1<x<3时,y>0

其中正确的个数为(  )

A.1              B.2           C.3            D.4

 

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