Question

设向量

a

=(sinx，

3

cosx)，

b

=(cosx，cosx)．
（1）若

a

∥

b

（0＜x＜

π

2

），求tanx的值；
（2）求函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期和函数在x∈(0，

π

2

)的最大值及相应x的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量平行的性质可得 sinxcosx-

3

cos²x=0，再由 0＜x＜

π

2

，以及同角三角函数的基本关系求得tanx的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及两角和差的正弦公式求得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，由此求得它的最小正周期．再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最大值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(sinx，

3

cosx)，

b

=(cosx，cosx)，

a

∥

b

，∴sinxcosx-

3

cos²x=0．
∵0＜x＜

π

2

，∴sinx-

3

cosx=0，tanx=

sinx

cosx

=

3

．
（2）函数f（x）=

a

•

b

=sinxcosx-

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，故它的最小正周期为

2π

2

=π．
再由 x∈(0，

π

2

)，可得 2x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
故当 2x+

π

3

=

π

2

时，函数取得最大值为

3

2

，此时，x=

π

12

．

点评：本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．