Question

6．已知函数y=sin²x+$\frac{1}{2}$sinx+1，设当y取得最大值时，角x的值为α，当y取得最小值时，角x的值为β，其中α，β均属于区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求sin（β-α）的值．

Answer 1

分析 首先，换元，确定所给函数的最值情况，然后，结合函数的最值，确定所给角度的值，最后，利用诱导公式进行求解．

解答 解：y=sin²x+$\frac{1}{2}$sinx+1，
令sinx=t，（-1≤t≤1），
∴y=t²+$\frac{1}{2}t$+1，
=（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{16}$，
∴当t=-$\frac{1}{4}$时，该函数取得最小值，此时
sinβ=-$\frac{1}{4}$，
当t=1时，该函数取得最大值，此时
sinα=1，
∵α，β均属于区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$α=\frac{π}{2}$，
∴sin（β-α）=sin（$β-\frac{π}{2}$）=-cosβ
=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$
=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题重点考查了二次函数的最值、换元法的思想方法、诱导公式等知识，属于中档题．