Question

5．若存在x∈[2，3]，使不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1成立，则实数a的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得a≥2^x-$\frac{1}{x}$，令y=2^x-$\frac{1}{x}$，由导数性质得y=2^x-$\frac{1}{x}$，在[2，3]上是增函数，由此能求出实数a的最小值．

解答 解：∵存在x∈[2，3]，使不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1成立，
∴1+ax≥x•2^x，即a≥2^x-$\frac{1}{x}$，
令y=2^x-$\frac{1}{x}$，
则y′=2^xln2+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴y=2^x-$\frac{1}{x}$，在[2，3]上是增函数，
∴当x=2时，y取得最小值，y_min=2²-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴a≥$\frac{7}{2}$，即实数a的最小值为$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想和导数性质的合理运用．