Question

（2013•浙江模拟）已知A，B是双曲线

x2

4

-y2=1的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆

x2

4

+y2=1于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k1+k2=-

15

8

，假设k₃＞0，则k₃的值为（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：由双曲线

x2

4

-y2=1可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），则

x 2 0

4

-

y

2 0

=1，可得

x 2 0 -4

4

=

y

2 0

．于是k_PA+k_PB=

y0

x0+2

+

y0

x0-2

=

2x0y0

x 2 0 -4

=

x0

y0

．同理设Q（x₁，y₁），由k_OP=k_OQ得

y0

x0

=

y1

x1

．得到k_QA+k_QB=-

x1

y1

．可得k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，由kPA+kPB=-

15

8

，可得k_QA+k_QB=

15

8

．又k_QA•k_QB=-

b2

a2

，联立解得k_QA．

解答：解：由双曲线

x2

4

-y2=1可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），则

x 2 0

4

-

y

2 0

=1，可得

x 2 0 -4

4

=

y

2 0

．
∴k_PA+k_PB=

y0

x0+2

+

y0

x0-2

=

2x0y0

x 2 0 -4

=

x0

y0

．
设Q（x₁，y₁），则

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，得到

x 2 1 -4

4

=-

y

2 1

．
由k_OP=k_OQ得

y0

x0

=

y1

x1

．
∴k_QA+k_QB=

y1

x1+2

+

y1

x1-2

=

2x1y1

x 2 1 -4

=-

x1

y1

，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵kPA+kPB=-

15

8

，∴k_QA+k_QB=

15

8

…①
又k_QA•k_QB=-

b2

a2

=-

1

4

…②
联立①②解得k_QA=2＞0．
故选C．

点评：熟练掌握双曲线、椭圆的标准方程、斜率的计算公式及其有关结论是解题的关键．