Question

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率为,且经过点,过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。 
（1）求椭圆E的方程
（2）现将椭圆E上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，求所得曲线的焦点坐标和离心率
（3）是否存在直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程。若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）；（2）焦点为（0，）,离心率；
（3）或.

本试主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆位置关系的 运用。
解：(1)设椭圆E的方程，由条件得解得，椭圆E的方程……………4分
（2）由题意，变换后的曲线的方程为，所以焦点为（0，）,离心率……………7分
（3）当轴时，A(，2)，B(，-2)，此时不满足；
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的斜率是k，且直线过左焦点C(，0)，则直线方程是。
根据题意有，设则=0。
联立方程 得
，，
==0
得，经检验满足
所以存在直线AB满足条件，直线AB的方程是或。……16分