Question

【题目】设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣ ≥0恒成立，则λ的最小值为（　　）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣ ≥0恒成立，

即为（eλx﹣ ）min≥0，设f（x）=eλx﹣ ，x＞0，f′（x）=λeλx﹣ ，

令f′（x）=0，可得eλx= ，由指数函数和反函数在第一象限的图象，可得y=eλx和y= 有且只有一个交点，

设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=m处取得极小值，且为最小值．

即有eλm= ，令eλm﹣ =0，可得m=e，λ= ．则当λ≥ 时，不等式eλx﹣ ≥0恒成立．则λ的最小值为 ．

另解：由于y=eλx与y= 互为反函数，故图象关于y=x对称，考虑极限情况，y=x恰为这两个函数的公切线，此时斜率k=1，再用导数求得切线斜率的表达式为k= ，即可得λ的最小值为 ．

故答案选：A．

本题考查的是利用求导解决函数最值的问题，设f（x）=eλx﹣ l n x λ ，x＞0，f′（x）=λeλx﹣ 1 λ x ，令f′（x）=0，可得eλx= ，由指数函数和反函数在第一象限的图象，可得y=eλx和y= 有且只有一个交点，设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=m处取得极小值，且为最小值．即有eλm= ，令eλm﹣ =0，可得m=e，λ= ．则当λ≥ 时，不等式eλx﹣ ≥0恒成立．则λ的最小值为 ．