Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
（Ⅰ）求a₃，a₄；
（Ⅱ）求a_2k，a_2k-1（k∈N⁺）；
（Ⅲ）设b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2a2k-1（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意（k∈N⁺）都有b_k+1＞b_k成立．

Answer 1

分析：已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
（Ⅰ）由题设条件，分别令n=1和n=2，能求出a₃，a₄．
（Ⅱ）设n=2k，k∈N^*，由题设能导出

a2k+2

a2k

=3．由此能求出a_2k．设n=2k-1，k∈N^*．由a2k+1=(1+2|cos

(2k-1)π

2

|)a2k-1+|sin

(2k-1)π

2

|=a2k-1+1，知a_2k+1-a_2k-1=1．由此能求出a_2k-1．
（Ⅲ）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2^k-1=3^k+（-1）^k-1λ•2^k，b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ•2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ•2^k=2•3^k+（-1）^kλ（2^k+1+2^k）=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k．由题意，对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立，由此能确定λ的值，使得对任意（k∈N⁺）都有b_k+1＞b_k成立．

解答：解：（Ⅰ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
a3=(1+2|cos

π

2

|)a1+|sin

π

2

|=a1+1=2，
a4=(1+2|cos

2π

2

|)a2+|sin

2π

2

|=3a2=9，…（2分）
（Ⅱ）①设n=2k，k∈N^*，
∵an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
又a₂=3，
∴

a2k+2

a2k

=3．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k}为等比数列．
∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k．
②设n=2k-1，k∈N^*．…（5分）
由a2k+1=(1+2|cos

(2k-1)π

2

|)a2k-1+|sin

(2k-1)π

2

|=a2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=1．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k-1}为等差数列．
∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k．…（8分）
（Ⅲ）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2^k-1=3^k+（-1）^k-1λ•2^k
∴b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ•2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ•2^k
=2•3^k+（-1）^kλ（2^k+1+2^k）
=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k．
由题意，对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立，
∴b_k+1-b_k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k＞0对任意k∈N^*恒成立，
∴2•3^k＞（-1）^k-1λ•3•2^k对任意k∈N^*恒成立．
①当k为奇数时，

2

•

3k＞

λ

•

3

•

2k⇒λ＜

2     •     3k

3     •     2k

=

2 3

•

(

3

2

)k对任意k∈N^*恒成立．
∵k∈N^*，且k为奇数，
∴

2 3

•

(

3

2

)k≥

2 3

•

3

2

=1．
∴λ＜1．
②当k为偶数时，

2

•

3k＞-

λ

•

3

•

2k⇒λ＞-

2     •     3k

3     •     2k

=-

2 3

•

(

3

2

)k对任意k∈N^*恒成立．
∵k∈N^*，且k为偶数，
∴-

2 3

•

(

3

2

)k≤-

2 3

•

(

3

2

)2=-

3

2

．∴λ＞-

3

2

．
综上，有-

3

2

＜λ＜1．
∵λ为非零整数，∴λ=-1．…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．