Question

8．设函数f（x）=|x-1|+|x-3a|+3a，x∈R．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）对任意m∈R⁺，x∈R恒有f（x）≥9-m-$\frac{4}{m}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＞7，可得$\left\{\begin{array}{l}{7-2x＞7}\\{x≤1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞7}\\{x≥3}\end{array}\right.$ ②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得 f（x）_min≥9-m-$\frac{4}{m}$，即|3a-1|+3a≥5，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a-1≥0}\\{3a-1+3a≥5}\end{array}\right.$ ③，或$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{1-3a+3a≥5}\end{array}\right.$ ④，分别求得③、④的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{7-2x，x≤-1}\\{5，1＜x＜3}\\{2x-1，x≥3}\end{array}\right.$，由不等式f（x）＞7，
可得$\left\{\begin{array}{l}{7-2x＞7}\\{x≤1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞7}\\{x≥3}\end{array}\right.$ ②．
解①求得 x＜0，解②求得 x＞4，故不等式f（x）＞7的解集为{x|x＜0或 x＞4}．
（2）对任意m∈R⁺，x∈R恒有f（x）≥9-m-$\frac{4}{m}$，∴f（x）_min≥9-m-$\frac{4}{m}$，∴|（x-1）-（x-3a）|+3a≥9-m-$\frac{4}{m}$，
即|3a-1|+3a≥5，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1≥0}\\{3a-1+3a≥5}\end{array}\right.$ ③，或$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{1-3a+3a≥5}\end{array}\right.$ ④．
解③求得a≥1，解④求得a无解．
综上可得，实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．