Question

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

Answer 1

⑴a_n＝6n－5⑵满足要求的最小正整数m为10.

解析:

（1）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（2）由（1）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.