Question

设定义在R上函数f（x）的图象与函数g（x）=a（x-2）+2（2-x）³（a为常数）的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；?
（Ⅱ）设F(x)=(

f(x)

x

+4lnx)′，当m＞0时，判断F（m³）与F（m²）的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意可得f（x）=g（2-x）即可；
（II）由（I）可得F（x），利用导数的运算法则可得F′（x），进而得到单调性．比较m³与m²的大小，再利用单调性即可得出F（m³）与F（m²）的大小关系．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）与 g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x），
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x³．
（Ⅱ） F(x)=(

f(x)

x

+4lnx)′=4x+

4

x

=4(x+

1

x

)，
∴F′(x)=4(1-

1

x2

)，∴x∈（0，1）时，F（x）单调递减；x∈（1，+∞），F（x）单调递增．
当0＜m＜1，0＜m³＜m²＜1，∴F（m³）＞F（m²），
当m=1，F（m³）=F（m²），
当m＞1，m³＞m²＞1
∴F（m³）≥F（m²）．

点评：熟练掌握轴对称、利用导数研究函数的单调性、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．