Question

12．已知函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+sinx+sin2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值，并求此时x的值；
（2）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A+$\frac{π}{4}$）=2且a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t²-1，从而将函数转化为t的函数，利用配方法，注意变量的范围，即可得解．
（2）由f（A+$\frac{π}{4}$）=2利用三角函数恒等变换的应用可求cosA，sinA的值，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+sinx+sin2x=1+cosx+sinx+2sinxcosx，
设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t²-1…（2分）
其中t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]…（4分）
∴函数化为y=t2+t=（t+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]…（6分）
∴当t=$\sqrt{2}$时，ymax=2+$\sqrt{2}$，…（10分）
此时，x$+\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
（2）∵f（A+$\frac{π}{4}$）=1+cos（A+$\frac{π}{4}$）+sin（A+$\frac{π}{4}$）+2sin（A+$\frac{π}{4}$）cos（A+$\frac{π}{4}$）=2，
∴化简可得：2cos²A+$\sqrt{2}$cosA-2=0，解得：cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\sqrt{2}$（舍去），解得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，可得：4=b²+c²-$\sqrt{2}$bc，
即b²+c²-$\sqrt{2}$bc=4≥2bc-$\sqrt{2}$bc=（2-$\sqrt{2}$）bc，即bc≤4+2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$（4+2$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}+1$，
则△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评 本题以三角函数为载体，考查函数的最值，考查了配方法的运用．基本不等式的应用，余弦定理，三角形面积公式的应用，换元是关键，别忘了变量范围的变化，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．