Question

7．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程．

Answer 1

分析 圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，由此能求出圆心为C（0，4），半径为4，设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，由此能求出M的轨迹方程．

解答 解：圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，
所以圆心为C（0，4），半径为4．
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．
由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，…..（6分）
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．…..（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查圆的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程和性质的合理运用．