Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的焦点在x轴上．
（1）若离心率e=$\frac{4}{5}$，求椭圆的方程；
（2）若右焦点到直线3x-4y-4=0的距离为1，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a²=25＞b²，再由椭圆的离心率得到a，b的关系，求出b²的值得答案；
（2）由点到直线的距离公式求出c值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的焦点在x轴上，得a²=25＞b²，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{16}{25}$，
∴25a²-25b²=16a²，即${b}^{2}=\frac{9}{25}{a}^{2}=9$．
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设椭圆右焦点F（c，0），则由题意，$\frac{|3c-4|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}=1$，
即|3c-4|=5，解得：c=$-\frac{1}{3}$（舍），或c=3．
则b²=a²-c²=25-9=16．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．