Question

（2012•黄山模拟）已知向量

a

=(1，cos

x

2

）与

b

=（

3

sin

x

2

+cos

x

2

，y）共线，且有函数y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(

2π

3

-2x)的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

a

与

b

共线，可得

1

3 sin x 2 +cos x 2

=

cos x 2

y

，求出函数f（x）的解析式，根据f（x）=1，求得即sin(x+

π

6

)=

1

2

，利用二倍角公式求得cos(

2π

3

-2x) 的值．
（Ⅱ）根据条件由正弦定理得：

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)

，求出角A的值，根据
f(B)=sin(B+

π

6

)+

1

2

，且0＜B＜

2π

3

，求得函数f（B）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

与

b

共线，∴

1

3 sin x 2 +cos x 2

=

cos x 2

y

，y=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

(1+cosx)=sin(x+

π

6

)+

1

2

，∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

=1，
即sin(x+

π

6

)=

1

2

，∴cos(

2π

3

-2x)=cos2(

π

3

-x)=2cos2(

π

3

-x)-1=2sin2(x+

π

6

)-1=-

1

2

．
（Ⅱ）已知2acosC+c=2b，
由正弦定理得：

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)

，

2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC

，∴cosA=

1

2

，∴在△ABC中∠A=

π

3

，f(B)=sin(B+

π

6

)+

1

2

．∵∠A=

π

3

，∴0＜B＜

2π

3

，

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，1＜f(B)≤

3

2

，∴函数f（B）的取值范围为(1， 

3

2

]．

点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，正弦定理，根据三角函数的值求角，求出函数f（x）的解析式，是解题的关键．