Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=3

3

，点E、G分别在AB、SC上，且AE=

1

3

AB，CG=

1

3

SC．
（1）证明：BG∥平面SDE；（2）求面SAD与面SBC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）在SD上取点F，使SF=

2

3

SD，连接FG，FE，由已知条件结合平行线分线段成比例定理，我们可证得BG∥FE，进而根据线面平行的判定定理即可得到BC∥平面SDE；
（2）连接BD，由已知中SD丄底面ABCD，可得平面SAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质可得△SBC在平面SAD上的投影即为△SAD，则cosθ=

S△SAD

S△SBC

，分别求出两个三角形的面积即可得到面SAD与面SBC所成二面角的大小．

解答：证明：（1）在SD上取点F，使SF=

2

3

SD，连接FG，FE，
由CG=

1

3

SC，得FG∥CD，且FG=

2

3

CD
又AE=

1

3

AB，得BE∥CD，且BE=

2

3

CD
∴FG=BE，FG∥BE
∴BG∥FE
∵FE?平面SDE，BG?平面SDE
∴BG∥平面SDE…5分
（2）连接BD，在正方形ABCD中，BC=3，∴BD=3
∵SD丄底面ABCD，
∴SD⊥BD，又SB=3

3

，
∴SD=3…6分
又平面SAD⊥平面ABCD，平面SCD⊥平面ABCD，
∴BC⊥SC，BA⊥平面SAD，CD⊥平面SAD
设平面SAD与平面ABC所成的二面角的平面角为θ…9分
则cosθ=

S△SAD

S△SBC

=

1 2 •AD•SD

1 2 •BC•SC

=

2

2

∴θ=

π

4

即平面SAD与平面ABC所成的二面角的平面角为

π

4

…12分

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得BG∥FE，（2）的关键是证得△SBC在平面SAD上的投影即为△SAD，则cosθ=

S△SAD

S△SBC

．