Question

【题目】数列的前项和为，且对任意正整数，都有；

（1）试证明数列是等差数列，并求其通项公式；

（2）如果等比数列共有2017项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新数列，求数列中所有项的和；

（3）如果存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）见解析，；（2）；（3）不存在；见解析

【解析】

（1）时，；时，即可证明。

（2）通过题意，写出前n项和式子，代入即可求得数列中所有项的和；（3）不等式，即不等式

，化为：

验证：时不等式不成立。时，，，即可求得结论。

（1）证明：时，；

时，

验证时也成立，所以数列是首项和公差都是1的等差数列。

（2）通过题意， 则

（3）不等式，

即不等式

化为：

因为，，而时不等式不成立。

时，，，因此不存在

使得不等式成立。