Question

考察下列一组不等式：2³+5³＞2²•5+2•5²，2⁴+5⁴＞2³•5+2•5³，2⁵+5⁵＞2³•5²+2²•5³，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是

2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n

．

Answer 1

分析：题目中的式子变形得2²⁺¹+5²⁺¹＞2²•5¹+2¹•5²（1）2³⁺¹+5³⁺¹＞2³•5¹+2¹•5³（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2^m+n+5^m+n＞2^m5ⁿ+2ⁿ5^m，使式子近一步推广得2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n

解答：解：2²⁺¹+5²⁺¹＞2²•5¹+2¹•5²（1）
2³⁺¹+5³⁺¹＞2³•5¹+2¹•5³（2）
观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，
则推广的不等式可以是：2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n
故答案为：2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．